مقالة اليقين الرياضي بطريقة جدلية للشعب العلمية والتقنية والتسيير

  ✅ مقالة اليقين الرياضي بطريقة جدلية للشعب العلمية والتقنية والتسيير 💯 موسعة وثرية جدا ومنقحة ❣️

مقالة التحدي - هدفنا العلامة الكاملة في الفلسفة

هل الحقيقة الرياضية مطلقة أم نسبي؟ / هل اليقين الرياضي ثابت أم متغير؟

هل نتائج الرياضيات ثابتة في كل الأحوال؟ / هل تعدد الأنساق الرياضية يفقدها يقينها؟

طرح المشكلة - المقدمة: تعتبر الرياضيات من أولى العلوم انفصالا عن الفلسفة وهي من الأبحاث الفكرية التي عرفها

الانسان منذ القدم حيث وصف الكثير من العلماء والفلاسفة الرياضيات بأنها من أكثر العلوم دقة ويقينا سواء في مبادئها

أو في نتائجها؛ فهي من حيث التعريف تعد علما يقوم بدراسة المقادير القابلة للقياس» بمعتى تدرس كميات متفصلة وتخص

مجال الجبر وكميات متصلة وهي الهندسة. ولكن المسألة التي أثارت جدلا بين الفلاسفة والمقكرين والعلماء كانت حول

معيار الحقيقة واليقين في الرياضيات حيث كشف لنا هذا الصراع انه لا يوجد معيار واحد في الرياضيات الإقليدية

والرياضيات المعاصرة؛ ذلك لأن الرياضيات الإقليدية تعتقد جازمة ببداهة ووضوح مبادثهاء وترى في نفسها النموذج

الوحيد في الصدق المطلق؛ أما الرياضي المعاصر فهو يرى أن عدم تناقض المقدمات مع النتائج وتحقيق الانسجام هو

معيار اليقين في الرياضيات الجديدة وبالتالي فالحقيقة الرياضية نسبية متعددة. وقي ذلك نطرح السؤال التالي: هل معيار

اليقين في الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوح مبادئها أم يتمثل في انسجام نتائجها مع مقدماتها؟ بمعتى هل الرياضيات

مطلقة أم نسبية ؟

محاولة حل المشكلة - عرض. الموقف الأول - الأطروحة الأولى: يرى أنصار الرياضيات الكلاسيكية إن الحقيقة

الرياضية ثابتة وان معيار اليقين في الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوح مبادئهاء حيث تأسست الرياضيات الكلاسيكية

تاريخيا على يد إقليدس» وسيطرت رياضياته الكلاسيكية على العقل البشري؛ حتى ضن العلماء أنها الرياضيات الوحيدة

التي تمتاز نتائجها بالصحة والمطلقية لذا يقول عنها كانط " إن أوثق ما نعرفه عن العالم هندسة إقليدس وفيزياء نيوتن"

اعتمدت الرياضيات الكلاسيكية على مجموعة من المبادئ أو المنطلقات؛ وهذه المبادئ هي - أولا التعريفات الرياضية

وهي أولى القضايا التي يلجأ إليها الرياضي من اجل ضبط المفاهيم والتمييز بين المعاني الرياضية بعضها من بعض»

ومن أهم التعريفات الإقليدية الرياضية؛ نجد تعريف المثلث بأنه شكل هندسي له ثلاثة أضلاع مجموع زواياه تساوى

0درجة. أو تعريف المربع مثلا هو شكل هندسي له أربعة أضلاع مجموع زواياه تساوى 360 درجة - يقول كانط

"ان الرياضيات تمتلك وحدها التعريفات اليقينية ولا يمكن لها أن تخطى”

أما البديهيات فهي قضايا واضحة بذاتها صحيحة وصادقة بذاتها لا تحتّاج إلى دليل على صحتهاء أي يدركها العقل مباشرة

دون برهان؛ فهي تعد من الأفكار الفطرية التي نشأت في العقل قبل التجربة الحسية وبالتالي لا يمكن للعقل اثباتها لشدة

وضوحها ومن بديهيات إقليدس تجد مثلا البديهية التي تقول إن الكل أكبر من الجزء والجزء أصغر من الكل لذا يقول

ديكارت " لا تصدق الا ما هو بديهي "

 

أيضا المسلمات التي تسمى أحيانا بالمصادرات وذلك لأن الرياضي هو الذي يضعها فهي إذن قضايا لا نستطيع البرهنة

على صحتهاء وليست واضحة بذاتهاء ولكننا نلجا إلى التسليم بصحتها. ومن مصادرات إقليدس مثلا نذكر المكان سطح

مستوي؛ من نقطة خارج مستقيم لا نستطيع رسم إلا مستقيما واحدا مواز للمستقيم الأول؛ يمكن الربط بين أي نقطتين

بخط مستقيم؛ المستقيمان المتوازيان مهما امتدا لا يلتقيان؛ وتسمى هذه المبادئ في مجموعها بالمبادئ الرياضية الكلاسيكية

ويقول عنها ديكارت " إن مبادئ هندسة إقليدس تمثل اليقين الرياضي الذي لا يمكن نقضه"

نقد ومناقشة ‏ صحيح أن هندسة ونسق اقليدس يبدو متماسكا لكن هذه الهندسة الكلاسيكية التي كانت حتى القرن 19

مأخوذة كدقيقة رياضية مطلقة؛ أصبحت تظهر كحالة خاصة من حالات الهندسة فقط وما كان ثابتا ومطلقا أصبح متغيرا

ونسبيا. وذلك مع ظهور الهندسات اللااقليدية التي استطاعت تجاوز الهندسة الكلاسيكية ومبادئها.

الموقف الثاني الأطروحة الثانية : وفي المقابل ترى الرياضيات المعاصرة أن الحقيقة الرياضية نسبية وأن معيار اليقين

فيها يتمثل في مدى الانسجام والتسلسل المنطقي بين المنطلقات أي المبادئ وبين النتائج المترتبة عنهاء وهذه الأطروحة

الحديثة قامت بالنقد والتشكيك في مبادئ ونتائج الرياضيات الكلاسيكية. وهي أطروحة يمثلها الفرنسي روبير بلا نشي

والروسي لوبا تشيفسكي والألماني ريمان

حيث انتقد الفرنسي روبير بلا نشى في كتابه الأكسيوماتيكا أي "النسق الافتراضي" المبادئ الثلاثة للرياضيات الكلاسيكية:

حيث انتقد بلانشي التعريفات الإقليدية ووصفها بأنها تعريفات لغوية لا علاقة لها بالحقيقة الرياضية فهي تعريفات نجدها

في المعاجم اللغوية. وهى بذلك تعريفات تشبه إلى حد بعيد التعريفات في العلوم الطبيعية؛ وانتقد بلا نشى البديهية أيضا

معتبرا أنها قضايا يجب البرهنة على صحتها وإذا لم نتمكن من ذلك وجب اعتبارها مسلمة أي مصادرة؛ أما المسلمات

فباعتبارها قضايا لا نستطيع البرهنة عليها فان ذلك تسليم بالعجزء ومن هنا يعتبر بلانشى أن أنسب مبدأ للرياضيات هو

مبدأ الفرضيات أي القضايا الرياضية التي تحتمل الصدق والخطأً وبالتالي فان مدى صدقها يقاس بتحقيق الانسجام بينها

وما ترتب عنها من نتائج يقول بلانشي "لم تعد الرياضيات اليوم تتكلم عن المنطلقات الرياضية باعتبارها بديهيات بل

هي مجرد فرضيات"

من هذا المنطلق ظهرت في القرن التاسع عشر أفكارا رياضية هندسية جديدة تختلف عن رياضيات إقليدس وسميت

بنظرية النسق الاكسيوماتيكى أو بالهندسات اللاإقليدية » وتجلى ذلك بوضوح من خلال أعمال العالمين الرياضيين

لوباتشيفسكي الروسي وريمان الألماني. فقي سنة 1830م جاء العالم الرياضي الروسي لوباتشيفسكى وتصور مكانا

أخر يختلف عنه وهو المكان المقعر أي الكرة من الداخل؛ وفى هذه الحالة تمكن من الحصول على هندسة تختلف عن

هندسة إقليدسء أي من خلال هذا المكان أعلن لوباتشيفسكى انه بإمكاننا أن ترسم متوازيات كثيرة من نقطة خارج مستقيم؛

والمثلث تصير مجموع زواياه اقل من 180 درجة

وفي سنة 1854م أتى الألماني ريمان فتصور المكان محدودبا أي الكرة من الخارج واستنتج بناء على ذلك هندسة جديدة

 

ترى انه لا يمكن رسم أي مواز من نقطة خارج مستقيم؛ وكل مستقيم منتهى لأنه دائري وجميع المستقيمات تتقاطع في

تقطتين فقط والمثلث مجموع زواياه أكثر من 180درجة.... وعلى هذا الأساس فان الحقيقة الرياضية لم تعد تعني البداهة

والوضوح وإنما تعني الانسجام بين المقدمات والنتائج واصبحت أنساقها ونظرياتها افتراضية بعيدة عن الواقع؛ أي أن

الرياضي يؤلف أنساقا صحيحة من الناحية المنطقية ولا يهمه صحتها من الناحية الواقعية.

ومن هنا فإنَ هندسة إقليدس لم تعد توصف بالكمال المطلق؛ ولا تمثل اليقين الرياضي الذي لا يمكن نقضه؛ فلقد أصبحت

واحدة من عدد غير محدود من الهندسات الممكنة والتي لكل منها مبادئها الخاصة بهاء وفي هذا المعنى يقول بوليغان

"إن كثرة الأنظمة في الهندسة لدليل على إن الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة"

وعلى هذا الأساس وضع عالم الرياضيات ديفيد هلبرت شروط جديدة وأساسية يجب مراعاتها عند وضع مسلمات جديدة

وهي كالتالي - أن تكون المُسلمة مستقلة بذاتها وان لا تكون مستنبطة من غيرهاء وان تكون غير متناقضة في ذاتهاء ان

تكون كافية بذاتها - ونستنتج من خلال هذه الشروط أن الفكر الرياضي المعاصر اعتمد بالكلية على الفكر التجريدي

الافتراضي البعيد عن الواقع ومتغيراته

نقد ومناقشة نحن لا نتكر أن الرياضيات المعاصرة قد أسقطت فكرة البداهة والمطلقية عن الرياضيات الكلاسيكية»

ولكن إذا كان الرياضي المعاصر حرا في اختيار ممقدماته فهذا لا يعني أن يتعسف في اختياره ووضعهاء بل يجب أن

يخضع في وضعها إلى شروط منطقية صارمة تنسجم فيها هذه المقدمات مع نتائجها انسجاما منطقيا ضروريا وأن يعتمد

على اللغة الرمزية. كما أن هذه الهندسات الجديدة لم لتكن لتظهر لولا وجود هندسة اقليدس كلبنة أساسية

التركيب : من خلال ما سبق عرضه تلاحظ أن هناك تعددا في الأتساق الرياضية ولكن هذا التعدد لم يقضي على يقين

كل واحدة منهاء فكل هندسة تعتبر صادقة إذا أخذت داخل نسقهاء وهذه الصفة تجعل من حقائقها الرياضية حقائق يقينية

نسقية فكل حسب مبادئه ‏ لهذا يبدو لي أن الرياضيات أصبحت أنساقا افتراضية متعددة بعيدة عن الارتباط بالواقع

ولعل هذا ما ذهب إليه روبير بلانشي في قوله " أما بالنسبة للأنساق الرياضية فلم يعد الأمر يتعلق بصحتها أو بفسادها

من الناحية الواقعية؛ إلا اذا اعتبرنا بالمعنى المنطقي للانسجام أو عدم التناقض الداخلي. والمبادئ التي تحكمها ليست

سوى فرضيات". ويفهم من هذا أن الفكر الرياضي تحول من الواقعي إلى الافتراضي وأصبحت المبادئ فرضيات بعدما

كانت مسلمات.

حل المشكلة - خاتمة من خلال ما سبق نستنتج إن الرياضيات الإقليدية لم تعد توصف بالكمال والمطلقية؛ ولم تعد

تمثل اليقين الرياضي الوحيد الذي لا يمكن نقضه؛ بل أصبحت واحدة من عدد غير محدود من الهندسات الممكنة التي

لكل منها مبادئها الخاصة بها. لذلك يقول بوانكاريه " ليست هناك هندسة أكثر يقينا من هندسة أخرى؛ وانما توجد من

هي أكثر ملاءمة لأننا الفناها" ولذلك فإن تعدد الأنساق الرياضية هو دليل على خصوبة الفكر في المجال الرياضي وليس

التعدد عيبا ينقص من قيمتها أو يقينها. بل دليل على الإبداع.